用Rust实现Polya定理（从零开始掌握组合数学中的群论计数算法）

核心公式

Polya定理的公式如下：

\[ L = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} k^{c(g)} \]

其中：

• |G| 是对称群的大小（即所有对称操作的数量）
• k 是可用颜色数
• c(g) 是对称操作 g 的循环节数（cycle count）

用Rust实现Polya定理

我们将以“计算n个珠子的环形项链在旋转对称下的不同着色数”为例，逐步实现算法。

步骤1：计算最大公约数（GCD）

在旋转对称中，旋转i步对应的循环节数为 gcd(n, i)。我们先实现GCD函数：

fn gcd(a: usize, b: usize) -> usize {    if b == 0 {        a    } else {        gcd(b, a % b)    }}

步骤2：实现快速幂（用于计算k^c）

由于颜色数k和循环节数c可能很大，我们需要高效计算幂：

fn pow_mod(base: u64, exp: usize, modulo: Option) -> u64 {    let mut result = 1;    let mut base = base;    let mut exp = exp;    let mod_val = modulo.unwrap_or(u64::MAX);    while exp > 0 {        if exp % 2 == 1 {            result = (result * base) % mod_val;        }        base = (base * base) % mod_val;        exp /= 2;    }    result}

步骤3：实现Polya定理主函数

现在整合所有逻辑，计算旋转对称下的不同着色数：

fn polya_count(n: usize, k: u64) -> u64 {    let mut total = 0u64;    // 遍历所有旋转操作：0 到 n-1 步    for i in 0..n {        let cycles = gcd(n, i);        total += pow_mod(k, cycles, None);    }    // 除以群的大小（即n）    total / n as u64}// 示例：3颗珠子，2种颜色fn main() {    let n = 3;    let k = 2;    println!("不同着色方案数: {}", polya_count(n, k));    // 输出: 4}

完整示例与测试

将上述代码整合成一个完整的Rust程序：

fn gcd(a: usize, b: usize) -> usize {    if b == 0 { a } else { gcd(b, a % b) }}fn pow_mod(base: u64, exp: usize, _modulo: Option) -> u64 {    let mut result = 1;    let mut base = base;    let mut exp = exp;    while exp > 0 {        if exp % 2 == 1 {            result *= base;        }        base *= base;        exp /= 2;    }    result}fn polya_count(n: usize, k: u64) -> u64 {    let mut total = 0;    for i in 0..n {        let cycles = gcd(n, i);        total += pow_mod(k, cycles, None);    }    total / n as u64}fn main() {    // 测试用例    println!("n=3, k=2 => {}", polya_count(3, 2)); // 应输出 4    println!("n=4, k=2 => {}", polya_count(4, 2)); // 应输出 6}

扩展思考：加入翻转对称

上面的例子只考虑了旋转对称。对于更复杂的对称群（如二面体群，包含旋转+翻转），你需要：

1. 枚举所有对称操作（包括翻转）
2. 对每个操作计算其循环分解
3. 代入Polya公式求和

这需要更复杂的群表示，但核心思想不变。这也是为什么Rust Polya定理实现是学习组合数学算法和群论计数的绝佳入门项目。

总结

通过本教程，你已经学会了：

• 什么是Polya定理及其应用场景
• 如何用Rust实现GCD和快速幂
• 如何编写完整的Polya计数函数
• 如何测试和验证结果

无论你是算法爱好者、竞赛选手，还是正在学习Rust编程教程的新手，掌握Polya定理都将为你打开组合数学的大门。快动手试试吧！