深入理解C语言最大流算法（从零开始掌握网络流核心思想）

主流的最大流算法有哪些？

最经典的方法包括：

• Ford-Fulkerson方法：一种通用框架，通过不断寻找增广路径来增加流量。
• Edmonds-Karp算法：Ford-Fulkerson 的具体实现，使用 BFS（广度优先搜索）来找最短增广路径，保证了多项式时间复杂度。

本文将重点讲解并实现 Edmonds-Karp算法，因为它稳定、高效且易于理解。

算法核心思想

1. 初始化所有边的流量为 0。
2. 在残量网络（即还能增加多少流量的网络）中，用 BFS 找一条从源点 S 到汇点 T 的路径（称为“增广路径”）。
3. 如果找不到路径，算法结束；否则，计算这条路径上最小的剩余容量（称为“瓶颈”）。
4. 沿该路径增加等于瓶颈值的流量，并更新残量网络（正向边减去流量，反向边加上流量）。
5. 重复步骤 2～4，直到无法找到增广路径为止。

C语言实现 Edmonds-Karp 算法

下面是一个完整的 C 语言实现，包含详细注释，适合初学者理解。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>#define MAX_V 100  // 最大顶点数int capacity[MAX_V][MAX_V];  // 容量矩阵int flow[MAX_Y][MAX_V];      // 流量矩阵（可省略，用capacity表示残量）int parent[MAX_V];           // BFS 时记录路径// 使用 BFS 寻找增广路径int bfs(int s, int t, int n) {    for (int i = 0; i < n; i++) parent[i] = -1;    parent[s] = -2;  // 标记源点已访问    int queue[MAX_V], front = 0, rear = 0;    queue[rear++] = s;    while (front < rear) {        int u = queue[front++];        for (int v = 0; v < n; v++) {            if (parent[v] == -1 && capacity[u][v] > 0) {                parent[v] = u;                if (v == t) return 1;  // 找到汇点                queue[rear++] = v;            }        }    }    return 0;  // 未找到路径}// Edmonds-Karp 主函数int edmonds_karp(int s, int t, int n) {    int max_flow = 0;    while (bfs(s, t, n)) {        // 找到路径后，回溯计算最小残量（瓶颈）        int path_flow = INT_MAX;        for (int v = t; v != s; v = parent[v]) {            int u = parent[v];            path_flow = (capacity[u][v] < path_flow) ? capacity[u][v] : path_flow;        }        // 更新残量网络        for (int v = t; v != s; v = parent[v]) {            int u = parent[v];            capacity[u][v] -= path_flow;  // 正向边减少            capacity[v][u] += path_flow;  // 反向边增加（允许“撤销”流量）        }        max_flow += path_flow;    }    return max_flow;}int main() {    int n = 6;  // 顶点数量：0~5，其中0是源点，5是汇点    // 初始化容量矩阵（示例图）    // 例如：capacity[0][1] = 16 表示从0到1的边容量为16    capacity[0][1] = 16; capacity[0][2] = 13;    capacity[1][2] = 10; capacity[1][3] = 12;    capacity[2][1] = 4;  capacity[2][4] = 14;    capacity[3][2] = 9;  capacity[3][5] = 20;    capacity[4][3] = 7;  capacity[4][5] = 4;    int source = 0, sink = 5;    printf("最大流为: %d\n", edmonds_karp(source, sink, n));    return 0;}  

代码说明

• capacity[u][v] 存储的是残量，初始为原始容量，随着算法进行动态更新。
• 反向边 capacity[v][u] 初始为 0，但在更新时会增加，这使得算法可以“撤销”之前错误的流量分配，是 Ford-Fulkerson 方法的关键技巧。
• BFS 确保每次选择最短的增广路径，使算法时间复杂度为 O(V·E²)，比 DFS 实现更稳定。

总结

通过本教程，你已经掌握了 C语言最大流算法 的基本原理与实现。无论是学习 Ford-Fulkerson方法 还是其高效变种 Edmonds-Karp算法，核心都在于理解“残量网络”和“增广路径”的概念。

建议你动手运行上述代码，修改图的结构，观察输出结果的变化。只有通过实践，才能真正掌握 网络流算法 的精髓！

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