C++高斯消元法详解（手把手教你用C++求解线性方程组）

算法步骤简述

1. 前向消元（Forward Elimination）：从第一行开始，逐行处理，使主对角线以下元素变为0，形成上三角矩阵。
2. 回代（Back Substitution）：从最后一行开始，依次求出每个未知数的值。

C++代码实现

下面是一个完整的C++高斯消元法实现。我们将使用二维vector存储增广矩阵（即系数矩阵+常数项）。

#include <iostream>#include <vector>#include <iomanip>#include <cmath>using namespace std;const double EPS = 1e-9; // 用于判断浮点数是否为0// 高斯消元法求解线性方程组vector<double> gaussElimination(vector<vector<double>> A, vector<double> b) {    int n = A.size();        // 构建增广矩阵 [A | b]    vector<vector<double>> aug(n, vector<double>(n + 1));    for (int i = 0; i < n; ++i) {        for (int j = 0; j < n; ++j) {            aug[i][j] = A[i][j];        }        aug[i][n] = b[i];    }        // 前向消元    for (int col = 0; col < n; ++col) {        // 选主元（避免除以0或数值不稳定）        int pivot_row = col;        for (int i = col + 1; i < n; ++i) {            if (abs(aug[i][col]) > abs(aug[pivot_row][col])) {                pivot_row = i;            }        }                // 交换当前行与主元行        swap(aug[col], aug[pivot_row]);                // 如果主元接近0，说明矩阵奇异（无唯一解）        if (abs(aug[col][col]) < EPS) {            throw runtime_error("Matrix is singular or nearly singular.");        }                // 消去下方行        for (int i = col + 1; i < n; ++i) {            double factor = aug[i][col] / aug[col][col];            for (int j = col; j <= n; ++j) {                aug[i][j] -= factor * aug[col][j];            }        }    }        // 回代求解    vector<double> x(n);    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {        double sum = aug[i][n];        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {            sum -= aug[i][j] * x[j];        }        x[i] = sum / aug[i][i];    }        return x;}int main() {    // 示例：求解方程组    // 2x + y - z = 8    // -3x - y + 2z = -11    // -2x + y + 2z = -3        vector<vector<double>> A = {        {2, 1, -1},        {-3, -1, 2},        {-2, 1, 2}    };        vector<double> b = {8, -11, -3};        try {        vector<double> solution = gaussElimination(A, b);        cout << "Solution:" << endl;        for (int i = 0; i < solution.size(); ++i) {            cout << "x[" << i << "] = "                  << fixed << setprecision(6) << solution[i] << endl;        }    } catch (const exception& e) {        cerr << "Error: " << e.what() << endl;    }        return 0;}

代码说明

• 我们使用了部分主元选择（Partial Pivoting）来提高数值稳定性，这是实际应用中非常重要的技巧。
• EPS 是一个很小的常数，用于判断浮点数是否“足够接近0”，避免因浮点误差导致错误判断。
• 如果矩阵是奇异的（行列式为0），则方程组可能无解或有无穷多解，此时程序会抛出异常。

为什么学习C++高斯消元法？

掌握C++数值计算中的高斯消元算法，不仅能帮助你解决数学建模中的实际问题，还能加深对线性代数和算法设计的理解。无论你是学生、工程师还是数据科学家，这项技能都非常实用。

总结

本文详细介绍了高斯消元算法教程的原理与C++实现。通过前向消元和回代两个步骤，我们可以高效求解线性方程组。建议你动手运行代码，修改输入矩阵，观察输出结果，从而真正掌握这一经典算法。

希望这篇教程对你有帮助！如果你有任何问题，欢迎在评论区留言交流。