高斯消元法详解（用Python实现线性方程组求解的完整教程）

算法步骤概述

1. 前向消元（Forward Elimination）：从第一行开始，依次将下方各行的对应列元素消为0，最终得到一个上三角矩阵。
2. 回代（Back Substitution）：从最后一行开始，逐个求解未知数。

Python 实现高斯消元法

下面我们用纯 Python（不依赖 NumPy）来实现高斯消元算法。我们将处理一个包含 n 个方程、n 个未知数的线性系统 Ax = b。

def gaussian_elimination(A, b):    """    使用高斯消元法求解线性方程组 Ax = b    :param A: 系数矩阵（二维列表）    :param b: 常数向量（一维列表）    :return: 解向量 x    """    n = len(A)        # 构造增广矩阵 [A|b]    for i in range(n):        A[i].append(b[i])        # 前向消元    for i in range(n):        # 主元归一化（可选，但能提高数值稳定性）        pivot = A[i][i]        if abs(pivot) < 1e-10:            raise ValueError("主元为零，无法继续消元。")                # 将当前行除以主元（使主元为1）        for j in range(i, n + 1):            A[i][j] /= pivot                # 消去下方所有行的第i列        for k in range(i + 1, n):            factor = A[k][i]            for j in range(i, n + 1):                A[k][j] -= factor * A[i][j]        # 回代求解    x = [0] * n    for i in range(n - 1, -1, -1):        x[i] = A[i][n]        for j in range(i + 1, n):            x[i] -= A[i][j] * x[j]        return x# 示例使用if __name__ == "__main__":    # 方程组：    # 2x + y - z = 8    # -3x - y + 2z = -11    # -2x + y + 2z = -3    A = [[2, 1, -1],         [-3, -1, 2],         [-2, 1, 2]]    b = [8, -11, -3]        solution = gaussian_elimination(A, b)    print("解为：", solution)

代码说明

• 我们首先将系数矩阵 A 和常数向量 b 合并成一个增广矩阵。
• 在前向消元阶段，我们确保主元（对角线元素）不为零，并将其归一化为1，然后消去下方所有行的对应列。
• 回代阶段从最后一行开始，利用已知的解逐步求出前面的未知数。

注意事项与改进方向

上述实现是一个基础版本。在实际应用中，你可能需要考虑：

• 部分主元选择（Partial Pivoting）：为了避免主元过小导致的数值不稳定，可以在每一步选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，并交换行。
• 使用 NumPy 可以更高效地处理大型矩阵，但在学习阶段，手写算法有助于理解原理。

总结

通过本教程，你已经掌握了如何用 Python语言 实现 高斯消元法 来求解 线性方程组。这是 数值计算教程 中的重要一环，也是理解更高级线性代数算法的基础。希望你能动手尝试修改代码，加深理解！

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