C++三角矩阵压缩（高效存储下三角矩阵的完整教程）

压缩存储的核心思想

我们要把二维下标 (i, j) 映射到一维数组的某个位置 k。由于下三角矩阵中只有当 i ≥ j 时才有有效值，我们可以按行优先顺序（row-major order）依次存储每一行的有效元素。

以第 i 行为例（从 0 开始计数）：- 第 0 行有 1 个有效元素- 第 1 行有 2 个有效元素- ...- 第 i-1 行有 i 个有效元素所以在第 i 行之前，已经存储了 1 + 2 + ... + i = i(i+1)/2 个元素。而在第 i 行中，第 j 列（j ≤ i）是该行的第 j 个元素（从 0 开始），所以总的偏移量为：

k = i*(i+1)/2 + j

C++ 实现代码

下面是一个完整的 C++ 类，用于实现下三角矩阵的压缩存储与访问：

#include <iostream>#include <vector>#include <stdexcept>class LowerTriangularMatrix {private:    std::vector<int> data; // 一维数组存储有效元素    int n;                 // 矩阵阶数public:    // 构造函数    LowerTriangularMatrix(int size) : n(size) {        if (n <= 0) throw std::invalid_argument("矩阵阶数必须大于0");        data.resize(n * (n + 1) / 2);    }    // 设置元素 (i, j)    void set(int i, int j, int value) {        if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) {            throw std::out_of_range("索引越界");        }        if (i < j) {            if (value != 0) {                throw std::invalid_argument("下三角矩阵中上三角位置只能为0");            }            return; // 上三角位置忽略        }        int k = i * (i + 1) / 2 + j;        data[k] = value;    }    // 获取元素 (i, j)    int get(int i, int j) const {        if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) {            throw std::out_of_range("索引越界");        }        if (i < j) return 0; // 上三角默认为0        int k = i * (i + 1) / 2 + j;        return data[k];    }    // 打印整个矩阵（用于调试）    void print() const {        for (int i = 0; i < n; ++i) {            for (int j = 0; j < n; ++j) {                std::cout << get(i, j) << "\t";            }            std::cout << "\n";        }    }};// 示例使用int main() {    LowerTriangularMatrix mat(4);    // 设置下三角元素    mat.set(0, 0, 1);    mat.set(1, 0, 2); mat.set(1, 1, 3);    mat.set(2, 0, 4); mat.set(2, 1, 5); mat.set(2, 2, 6);    mat.set(3, 0, 7); mat.set(3, 1, 8); mat.set(3, 2, 9); mat.set(3, 3, 10);    std::cout << "压缩存储的下三角矩阵：\n";    mat.print();    return 0;}

为什么使用一维数组存储矩阵？

使用一维数组存储矩阵有三大优势：

1. 节省内存：对于 1000×1000 的下三角矩阵，传统二维数组需要 1,000,000 个单元，而压缩后只需约 500,500 个，节省近 50% 内存。
2. 提高缓存效率：一维数组在内存中连续存储，访问速度更快。
3. 便于序列化：在文件存储或网络传输时，一维数组更易处理。

总结

通过本教程，你已经掌握了 C++三角矩阵压缩 的基本原理与实现方法。这项技术不仅适用于下三角矩阵，稍作修改也可用于上三角矩阵（只需将映射公式改为 k = j*(j+1)/2 + i）。在实际工程中，如有限元分析、图算法、动态规划等领域，这种优化能显著提升程序性能。

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