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深入理解C语言最小割算法（从零开始掌握图论中的最大流最小割定理）

主机测评网
C
2025-12-21
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在计算机科学和网络优化中，C语言最小割算法是一个非常重要的概念。它广泛应用于图像分割、社交网络分析、电路设计等领域。本文将用通俗易懂的方式，带领编程小白一步步理解并实现最小割算法。

什么是“割”？

在一个有向图（或无向图）中，如果我们指定一个源点（source）s 和一个汇点（sink）t，那么“割”就是将图中的顶点划分为两个不相交的集合 S 和 T，使得 s ∈ S 且 t ∈ T。割的容量是指所有从 S 指向 T 的边的容量之和。

而最小割就是所有可能的割中容量最小的那个。

最大流最小割定理

这是理解最小割的关键！该定理指出：

在任意网络流图中，从源点 s 到汇点 t 的最大流值等于最小割的容量。

这意味着，我们不需要直接找最小割，而是可以通过计算最大流来间接得到最小割的值。这也是实际编程中最常用的方法。

如何用C语言实现？

我们将使用Edmonds-Karp算法（基于BFS的Ford-Fulkerson方法）来求最大流，然后通过残量网络找出最小割的边集。

步骤概览：

构建图的邻接矩阵或邻接表（包含正向边和反向边）
使用BFS不断寻找增广路径，更新残量网络
当无法再找到增广路径时，最大流计算完成
从源点s在残量网络中能到达的所有节点构成集合S，其余为T
所有从S到T的原始边即为最小割边

完整C语言代码示例

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>#include <stdbool.h>#define MAX_V 100  // 最大顶点数int graph[MAX_V][MAX_V];  // 容量图int residual[MAX_V][MAX_V]; // 残量图bool visited[MAX_V];int parent[MAX_V];int V; // 顶点数量// BFS查找增广路径bool bfs(int s, int t) {    for (int i = 0; i < V; i++) {        visited[i] = false;        parent[i] = -1;    }        int queue[MAX_V], front = 0, rear = 0;    queue[rear++] = s;    visited[s] = true;        while (front < rear) {        int u = queue[front++];        for (int v = 0; v < V; v++) {            if (!visited[v] && residual[u][v] > 0) {                visited[v] = true;                parent[v] = u;                if (v == t) return true;                queue[rear++] = v;            }        }    }    return false;}// Edmonds-Karp算法求最大流int edmonds_karp(int s, int t) {    // 初始化残量图为原图    for (int i = 0; i < V; i++)        for (int j = 0; j < V; j++)            residual[i][j] = graph[i][j];        int max_flow = 0;        while (bfs(s, t)) {        int path_flow = INT_MAX;        for (int v = t; v != s; v = parent[v]) {            int u = parent[v];            path_flow = (path_flow < residual[u][v]) ? path_flow : residual[u][v];        }                for (int v = t; v != s; v = parent[v]) {            int u = parent[v];            residual[u][v] -= path_flow;            residual[v][u] += path_flow;        }                max_flow += path_flow;    }        return max_flow;}// 找出最小割的边void find_min_cut(int s) {    // 重新运行BFS以标记可达节点（在最终残量图中）    bool reachable[MAX_V] = {false};    int queue[MAX_V], front = 0, rear = 0;    queue[rear++] = s;    reachable[s] = true;        while (front < rear) {        int u = queue[front++];        for (int v = 0; v < V; v++) {            if (!reachable[v] && residual[u][v] > 0) {                reachable[v] = true;                queue[rear++] = v;            }        }    }        printf("最小割的边（从S到T）:\n");    for (int i = 0; i < V; i++) {        for (int j = 0; j < V; j++) {            if (reachable[i] && !reachable[j] && graph[i][j] > 0) {                printf("%d -> %d (容量: %d)\n", i, j, graph[i][j]);            }        }    }}int main() {    // 示例图：5个顶点（0为源点，4为汇点）    V = 5;        // 初始化图    for (int i = 0; i < V; i++)        for (int j = 0; j < V; j++)            graph[i][j] = 0;        // 添加边（容量）    graph[0][1] = 10;    graph[0][2] = 10;    graph[1][2] = 2;    graph[1][3] = 4;    graph[1][4] = 8;    graph[2][4] = 9;    graph[3][4] = 10;        int source = 0, sink = 4;    int max_flow = edmonds_karp(source, sink);        printf("最大流 = %d\n", max_flow);    printf("根据最大流最小割定理，最小割容量也为 %d\n\n", max_flow);        find_min_cut(source);        return 0;}