蒙特卡洛算法入门指南（用Python实现随机抽样与数值计算）

案例一：用蒙特卡洛方法估算圆周率 π

想象一个边长为2的正方形，内部有一个半径为1的圆（如下图）。如果我们向正方形内随机撒点，落在圆内的点数与总点数之比应接近圆面积与正方形面积之比，即 π/4。因此，我们可以通过统计比例来估算 π。

import randomimport mathdef estimate_pi(n):    inside_circle = 0    for _ in range(n):        x = random.uniform(-1, 1)        y = random.uniform(-1, 1)        if x**2 + y**2 <= 1:            inside_circle += 1        pi_estimate = 4 * inside_circle / n    return pi_estimate# 测试：使用100万个随机点估算πestimated_pi = estimate_pi(1_000_000)print(f"估算的π值为: {estimated_pi:.6f}")print(f"真实π值为: {math.pi:.6f}")  

运行这段代码，你会发现估算值非常接近真实 π（约3.141593）。点数越多，结果越精确——这正是数值计算方法的魅力所在！

案例二：用蒙特卡洛模拟计算积分

假设我们要计算函数 f(x) = x² 在区间 [0, 1] 上的定积分。我们知道解析解是 1/3，但我们可以用蒙特卡洛方法来验证：

import randomdef monte_carlo_integral(func, a, b, n):    total = 0    for _ in range(n):        x = random.uniform(a, b)        total += func(x)        integral = (b - a) * total / n    return integral# 定义被积函数def f(x):    return x ** 2# 计算积分result = monte_carlo_integral(f, 0, 1, 1_000_000)print(f"蒙特卡洛估算的积分值: {result:.6f}")print("理论值: 0.333333")  

为什么蒙特卡洛算法如此重要？

• 适用于高维问题（传统数值积分在维度升高时效率急剧下降）
• 实现简单，易于并行化
• 在金融风险评估、粒子物理、人工智能等领域广泛应用

小结

通过本教程，你已经掌握了蒙特卡洛算法的基本原理和两个经典应用：估算π和计算积分。记住，关键在于大量随机抽样和统计平均。随着样本量增加，结果会越来越接近真实值。这是Python蒙特卡洛模拟最直观的体现，也是现代数值计算方法的重要组成部分。

动手试试吧！修改代码中的样本数量，观察结果如何变化。你会发现，编程+数学=无限可能！