深入理解斯特林数（C语言实现第二类斯特林数的递归与动态规划算法）

斯特林数的递推关系

第二类斯特林数满足如下递推公式：

S(n, k) = k × S(n−1, k) + S(n−1, k−1)

边界条件为：

• S(0, 0) = 1
• S(n, 0) = 0（当 n > 0）
• S(0, k) = 0（当 k > 0）
• S(n, k) = 0（当 k > n）

方法一：递归实现（适合理解原理）

我们可以直接根据递推公式写出一个递归函数。虽然效率较低，但逻辑清晰，非常适合初学者理解斯特林数的本质。

#include <stdio.h>int stirling_recursive(int n, int k) {    // 边界条件    if (n == 0 && k == 0) return 1;    if (n == 0 || k == 0) return 0;    if (k > n) return 0;    // 递推公式    return k * stirling_recursive(n - 1, k)            + stirling_recursive(n - 1, k - 1);}int main() {    int n = 4, k = 2;    printf("S(%d, %d) = %d\n", n, k, stirling_recursive(n, k));    return 0;}

这段代码使用了经典的递归算法，但由于存在大量重复计算，时间复杂度较高（约为 O(2^n)），不适合处理较大的 n 值。

方法二：动态规划实现（高效实用）

为了提升效率，我们可以采用动态规划（DP）方法，自底向上构建一个二维表格存储中间结果，避免重复计算。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int stirling_dp(int n, int k) {    // 创建 DP 表格    int **dp = (int **)malloc((n + 1) * sizeof(int *));    for (int i = 0; i <= n; i++) {        dp[i] = (int *)calloc(k + 1, sizeof(int));    }    // 初始化边界条件    dp[0][0] = 1;    // 填充 DP 表格    for (int i = 1; i <= n; i++) {        for (int j = 1; j <= k && j <= i; j++) {            dp[i][j] = j * dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];        }    }    int result = dp[n][k];    // 释放内存    for (int i = 0; i <= n; i++) {        free(dp[i]);    }    free(dp);    return result;}int main() {    int n = 5, k = 3;    printf("S(%d, %d) = %d\n", n, k, stirling_dp(n, k));    return 0;}

该方法的时间复杂度为 O(n×k)，空间复杂度也为 O(n×k)，适用于大多数实际应用场景，是学习C语言算法时的经典范例。

总结

通过本文，我们不仅理解了第二类斯特林数的数学定义和递推关系，还掌握了用 C 语言实现它的两种核心方法：递归（便于理解）和动态规划（高效实用）。无论你是算法小白还是进阶学习者，掌握这类经典问题都将极大提升你的编程思维和解决问题的能力。

记住，递归算法虽简洁，但效率低；而动态规划则是在时间和空间之间做出的合理权衡。在实际项目中，请根据数据规模选择合适的方法。

关键词回顾：斯特林数、C语言算法、第二类斯特林数、递归算法