90后华人数学家攻克塔拉格兰卷积猜想，为机器学习正则化提供新视角

一个困扰数学界超过三十年的难题——塔拉格兰卷积猜想，近日被一位90后华人数学家成功攻克！

来自苏黎世联邦理工学院的年轻学者Yuansi Chen，刚刚在预印本平台arXiv上公布了其突破性研究：

该论文证明了布尔超立方体上的塔拉格兰卷积猜想，其证明精度仅相差一个log log η因子。

这一成果之所以引起广泛关注，根本原因在于它为深入理解高维离散空间中的平滑化现象奠定了严格的数学基础。

此外，这项纯数学研究与机器学习领域有着密切的联系：

它为机器学习中的正则化技术提供了坚实的理论支撑；

同时，也为针对离散数据设计生成式AI模型提供了直接的数学工具和深刻的物理洞见。

三十年悬而未决的数学猜想终获突破

塔拉格兰卷积猜想由被誉为“数学界诺奖”的阿贝尔奖得主Michel Talagrand于1989年提出。

为了便于理解，我们先介绍两个核心概念：首先是“加热平滑”。

设想一个极高维度的空间，例如一个庞大的多维棋盘，每个格点只有两种可能状态。在这个空间上定义一个函数，该函数的值可能非常“陡峭”，在某些区域取值极大，而在其他区域则极小。

数学中的“卷积”或“热半群”操作，相当于对这个函数施加“加热”过程，让热量均匀扩散，高值区域的能量流向低值区域，最终使函数整体趋于平滑，尖锐的峰值被抹平。

第二个概念是马尔可夫不等式：

马尔可夫不等式表明，一个非负随机变量取极大值的概率非常有限。例如，若其均值为1，则取值超过100（记作η）的概率至多为1%（即1/η）。

Talagrand猜想，在对高斯空间或布尔超立方体等概率空间上的函数进行加热平滑（即卷积）处理后，该函数出现极大值的概率应远低于马尔可夫不等式所给出的上界。

他认为，这一概率不仅与1/η有关，还应再除以一个与

相关的因子。

换言之，塔拉格兰卷积猜想断言，经过平滑化处理的数据，其极端异常值出现的概率比常规理论预测的要低一个特定量级。

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在此之前，该猜想在连续空间（高斯形式）中的情形已被数学家们解决。然而，将其推广至布尔超立方体这类离散空间，却始终是一个难以逾越的障碍。

因为高斯形式的证明依赖于连续空间中的微积分和随机微分方程等完备工具，而这些工具在离散空间中无法直接应用。

面对这一挑战，Yuansi Chen的解决策略是：借鉴高斯空间随机分析的方法论，巧妙运用反向热过程的性质构造扰动，使其适应布尔超立方体的离散结构。

具体而言，他构造了一种新的耦合方式，利用了沿随机过程的扰动。该扰动项δ并非恒定值，而是随状态和坐标变化。

论文最终证明了关键不等式：

从而证实了塔拉格兰卷积猜想的核心论断。

该证明将原始猜想的结论精确到仅差一个log log η因子。考虑到log log η增长极为缓慢，这已近乎完整地证明了塔拉格兰卷积猜想。

值得强调的是，尽管这是一篇概率论领域的纯数学论文，但其结论与机器学习乃至生成式AI技术有着直接的联系。

首先，论文中采用的“反向热过程”方法，对应于扩散模型在布尔超立方体上的版本，两者高度相似。

这意味着该研究可能为理解和开发针对离散数据的扩散生成模型提供新思路。

其次，塔拉格兰卷积猜想的本质在于量化卷积操作的正则化效果。在机器学习中，正则化正是防止过拟合、提升模型泛化能力的关键技术。

该结果从理论上解释了“为何平滑处理或添加噪声能使模型在高维复杂空间中表现更为稳健”。

此外，机器学习中大量数据本质上是离散且高维的。这项研究深化了对高维离散空间几何性质的理解，对发展二值数据及逻辑函数的学习理论具有重要价值。

这位90后华人数学家是谁？

论文作者Yuansi Chen（陈远思）1990年7月出生于中国浙江宁波。

他的研究领域涵盖统计机器学习、马尔可夫链蒙特卡罗方法、应用概率论以及高维几何等。

2019年，他在加州大学伯克利分校获得博士学位，导师是著名华人统计学家郁彬教授。

之后，他在苏黎世联邦理工学院进行了为期两年的博士后研究。2021年至2024年间，他受聘为杜克大学统计科学系助理教授。2024年初，他重返苏黎世联邦理工学院，担任副教授。

根据Google Scholar数据，他的论文总被引次数已达1623次，h指数为13。

他还是2023年度斯隆研究奖的得主。

在此之前，他在KLS猜想方面的工作也曾引起广泛关注：一位华人统计学博士解决了困扰数学家25年之久的“切苹果”难题。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2511.19374