GPT-5驱动数学研究革命：第四矩定理定量收敛率首次显式化突破

GPT-5展现了令人惊叹的博士级AI智能水平！

在数学专家的精心指导下，它首次成功将定性的第四矩定理推广为具备明确收敛速率的定量形式。

简而言之，原有理论仅断言收敛性，而缺乏具体速度描述；借助GPT-5，这项突破性研究首次精确量化了收敛速率。

OpenAI联合创始人Greg Brockman对此表示高度赞赏与欣慰。

广大网友也纷纷感叹，这堪称人工智能辅助科研的奇迹。

GPT-5助力攻克第四矩定理的定量收敛率难题

此前，OpenAI研究员Sebastien Bubeck透露，GPT-5 Pro在短短几分钟内解决了凸优化领域的一个开放问题，将已知边界值从1/L提升至1.5/L。

受此激励，三位数学教授在Malliavin–Stein理论框架下设计了一项对照实验。

目标在于检验GPT-5能否超越现有成果，将定性的第四矩定理发展为带有显式收敛率的定量版本，并同时覆盖高斯与泊松场景。

研究团队从以下初始提示入手：

论文2502.03596v1建立了一个定性的第四矩定理，适用于两个Wiener–Itô积分（阶数分别为p和q）的和，其中p和q的奇偶性不同。

基于Malliavin–Stein方法（具体可参见1203.4147v3），你能否推导出一个针对总变差距离的定量版本，其收敛速率仅依赖于该和的第四阶累积量？

(具体分析细节已省略，感兴趣的读者可查阅原始论文。)

首次交互成果显著，GPT-5得出了总体正确的结论，并采用了合适的数学工具与方法论。

然而，其推理过程中存在一处误差，导致

的表达式有误，若不修正可能使整个证明无效。

发现该问题后，研究者随后提出新的疑问：

你能检查一下你给出的

公式，并提供详细推导吗？

GPT-5遵从指令，提供了所需细节，但公式仍不正确，解释也存在偏差。随后，研究人员更精准地指出了错误：

我认为你在声称

时有误。为什么会是这样呢？

GPT-5最终承认该断言错误，并更重要的是理解了错误根源。随后，它给出了正确的推理流程与公式。

随后，应研究团队要求，GPT-5将最终结果整理成学术论文格式，包含引言、主要定理陈述、完整正确的证明过程及参考文献。具体提示如下：

请将此整理成一篇可投稿的研究论文，遵循我的风格（见附带论文0705.0570v4）：

以引言开始，提供一定的背景信息；

接着陈述主要结果，并给出非常详细的证明，确保每一步都完整；

最后附上完整的参考文献。

最终文档应为一个可编译的LaTeX文件。

最后，研究人员还让它补充结论部分，探讨该成果在未来研究中的潜在拓展方向。

你能添加一个“结论与展望”部分吗？在其中总结主要内容，并提出未来研究可能的方向或拓展思路。

GPT-5积极响应，提出该方法甚至可推广至非高斯框架。

推广至泊松场景

基于这一建议，研究团队决定深入探索，尝试将其扩展至泊松情形。

由于此时上下文窗口已较长，可能影响性能，他们开启新对话并使用如下提示：

这里有一篇论文（2502.03596v1），证明了两个奇偶性不同的Wiener–Itô积分之和的第四矩定理。我希望你能将其推广到泊松情形，使用论文1707.01889v2中包含的思路。

在新对话中，GPT-5迅速识别出泊松情形与高斯情形的结构差异，指出：当X和Y是不同阶的泊松积分时，混合期望

不一定为零。

但同时，它也完全忽略了一个关键事实，即即使在泊松情形下，仍满足

。

随后，研究者试图通过提问引导GPT-5步入正轨。

在论文1707.01889v2中，难道没有任何内容可以表明

总是非负的吗？

然而，由于问题开放性较强，这不足以触发正确思路。GPT-5自信地回应“没有”，并给出了一个说服力有限的解释。

但当研究者指出具体信息后:

那 (2.4) 呢？

GPT-5立即纳入非负性考量，并在研究者提问后，重新表述了定理。

额外趣闻

有趣的是，作者最初打算将GPT-5列为论文共同作者提交，但几小时后，arXiv告知其政策禁止AI作为作者。

最终，他们只能提交作者列表中不含GPT-5的论文版本。

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2509.03065v1

参考链接：

[1]https://x.com/gdb/status/1964474141295464675

[2]https://www.linkedin.com/posts/ivan-nourdin-61698a131_mathematical-research-with-gpt-5-activity-7368607852220805120-qLJA/?utm_source=share&utm_medium=member_desktop&rcm=ACoAAAzTDtoBh8KeVDRAqwRd0mUwfVpwfyirm80

[3]https://arxiv.org/abs/2502.03596[4]https://arxiv.org/pdf/1707.01889